\documentclass{jarticle}
\usepackage{amsmath, amssymb, bm}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}

\title{�ʐڐG�̍S���\��}
\author{tazz}
\date{}

\setlength{\oddsidemargin}{0mm}
\setlength{\textwidth}{160mm}

\begin{document}
\maketitle

\begin{itemize}
\item 16/06/17 �ŏI�X�V
\end{itemize}

\section{�͂��߂�}

�_�ڐG���f���͐ڐG�f�ʂ̊e���_�ɓ_�ڐG�S�������������D
���̕��@�ł͕��G�Ȍ`�󓯎m�̐ڐG�������ۂɓ_�ڐG�S���̐��������Ȃ�C���ʂƂ��Čv�Z�R�X�g�����傷���肪����D
���̑���Ɉ�̐ڐG�f�ʂɈ�̖ʐڐG�S����Ή���������@���l������D
���̕��@�ł͐ڐG�f�ʂ̌`��ɂ�炸�S���ɂ������ϐ����Œ�ł��邽�ߌv�Z�R�X�g�Ɋւ���D�ʐ������҂ł���D
���̔��ʁC�ڐG�͂̉�]�����i���[�����g�j�̎ˉe�Ɋւ��鏈�������G�ɂȂ邽�ߒ��ӂ��K�v�ł���D

\section{�ʐڐG�S���̃��f��}

�ʑ��p�`��̐ڐG�f�ʂ��l���C���̏d�S�ɍS�����W�n�̌��_�������D
�܂��C�ڐG�f�ʂ̖@��������x���Ƃ��Cy����z���͂���ɍ��킹�Ē�`����D

�S�����W�n�ɂ�����2���̂̑��Α��x�x�N�g����$(v, w)$�Ƃ����D$v$�����i���x��$w$���p���x�ł���D
�܂��C�S�����W�n���_�ɂ�����2���̂ɍ�p����S���́i�ڐG�́j��$(f, n)$�Ƃ���D$f$�����i�͂�$n$�����[�����g�ł���D

�ڐG���f���ɂ����đ��Α��x$(v, w)$�ƐڐG��$(f, n)$���������ׂ��㐔�����������ɏ��������ƔώG�ɂȂ�D
��������{�I�ɂ�$v = 0$�C$w = 0$�𖞂����悤��$(f, n)$�����߁C�����K���ȐڐG�͈͂̔͂Ɏˉe����ƍl����΂悢�D
����Ĉȉ��ł�$f$��$n$�̎ˉe����ɒ��ڂ���D

�܂����i��x�����͕��ł͂Ȃ�Ȃ��D
\begin{align*}
f_\mathrm{x} \ge 0
\end{align*}
���ɕ��i��y, z�����́Cx�����ɂ���Č��܂門�C�~���Ɋ܂܂�Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��D
\begin{align*}
\left\| \begin{bmatrix} f_\mathrm{y} \\ f_\mathrm{z} \end{bmatrix} \right\| &\le \mu f_\mathrm{x}
\end{align*}

�ȏ�ɂ����i�͂̎ˉe������s������C���[�����g�̎ˉe���s���D
�܂����[�����g��y������z�����ɂ��ẮC�ڐG�͒��S(center of pressure, CoP)�����߁C���ꂪ
�ڐG�f�ʂɊ܂܂��悤�Ɏˉe����D
CoP��$c = [0, c_\mathrm{y}, c_\mathrm{z}]$�Ƃ���Ƃ��C�ȉ��𖞂����D
\begin{align*}
 n_\mathrm{y} + c_\mathrm{z} f_\mathrm{x} &= 0, \\
 n_\mathrm{z} - c_\mathrm{y} f_\mathrm{x} &= 0
\end{align*}
�����CoP��
\begin{align*}
 c_\mathrm{y} &=  n_\mathrm{z} / f_\mathrm{x}, \\
 c_\mathrm{z} &= -n_\mathrm{y} / f_\mathrm{x}
\end{align*}
�ƂȂ�D

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=70mm]{section.eps}
\end{center}
\end{figure}

�}�̂悤�ɐڐG���p�`�̊e���_�𔼎��v�܂���$p_0, p_1, \dots, p_{m-1}$�Ƃ���i$m$�͒��_���j
�\�L�̕֋X��$p_m = p_0$�Ƃ���D
�܂��C$p_i, p_{i+1}$���Ȃ��ӂ̖@����$\eta_i$�Ƃ���D
�܂�
\begin{align*}
\eta_i = 
\begin{bmatrix}
 p_{i+1,z} - p_{i,z} \\
-(p_{i+1,y} - p_{i,y})
\end{bmatrix}
\end{align*}
�ł���D
�Ȃ��ȉ��̋c�_��$\eta_i$���P�ʃx�N�g���ł���K�v�͂Ȃ��̂ŁC���K�������͕s�v�ł���D

�}���疾�炩�Ȃ悤�ɁC�_$c$�����p�`�̊O���ɂ���Ƃ��C����$i$�ɂ��ĉ��L�̂����ꂩ�����藧��
\begin{itemize}
\item $c$���瑽�p�`�ւ̍ŋߓ_��$p_i$�ł���
\item $c$���瑽�p�`�ւ̍ŋߓ_����$p_i$-$p_{i+1}$��̓_�ł���
\end{itemize}
�����̏����͔r���I�ŁC�����ꂩ����K����������̂ŁC
���Ԃɕ]�����Ă����������������ɑΉ�����ˉe������s���΂悢�D

$c$�̍ŋߓ_��$p_i$�ł��邩�𔻒肷��ɂ�
\begin{align*}
\begin{bmatrix} \eta_{i-1} & \eta_i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix}
 = 
 c - p_i
\end{align*}
��������$s > 0$�C$t > 0$�𒲂ׂ�D
���̂Ƃ��Ή�����ˉe�����
\begin{align*}
c \rightarrow p_i
\end{align*}
�ł���D

$c$�̍ŋߓ_����$p_i$-$p_{i+1}$�ł��邩�𔻒肷��ɂ�
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
p_{i+1} - p_i & \eta_i
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix}
 =
 (c - p_i)
\end{align*}
��������$0 < s < 1$�C$t > 0$�𒲂ׂ�D
���̂Ƃ��Ή�����ˉe�����
\begin{align*}
c \rightarrow (1 - s) p_i + s p_{i+1}
\end{align*}
�ł���D
��L�̂�����̏��������藧���Ȃ������ꍇ��$c$�͐ڐG���p�`�̋��E���邢�͓����ɑ��݂��邱�ƂɂȂ�̂Ŏˉe�̕K�v�͂Ȃ��D
�ˉe����$CoP$���烂�[�����g�𓾂�ɂ�
\begin{align*}
 n_\mathrm{y} = - c_\mathrm{z} f_\mathrm{x}, \\
 n_\mathrm{z} =   c_\mathrm{y} f_\mathrm{x}
\end{align*}
�Ƃ���D

�Ō�Ƀ��[�����g��x�����̎ˉe�ɂ��čl����D
����ɂ͉��炩�̋�̓I�ȐڐG�͕��z�����肷��K�v������D
yz���ʏ�̓_$(y,z)$�ɍ�p����P�ʖʐς�����̗͂�$\phi_\mathrm{x}(y,z), \phi_\mathrm{y}(y,z), \phi_\mathrm{z}(y,z)$�Ƃ���D
CoP�𒆐S�Ƃ��锼�a$r$�̉~�̈�$S$���l���C���̉~�̊O�ł͕��z�͂�$0$�Ƃ���D
�܂��C�~�̓����ɂ�����͂̕��z��
\begin{align*}
\phi_\mathrm{x}(y, z) &= \bar{\phi}_\mathrm{x},   \\
\phi_\mathrm{y}(y, z) &= \bar{\phi}_\mathrm{y} - \psi \sin\theta \\
\phi_\mathrm{z}(y, z) &= \bar{\phi}_\mathrm{z} + \psi \cos\theta
\end{align*}
�ƒ�`����D
������$\bar{\phi}_\mathrm{x}, \bar{\phi}_\mathrm{y}, \bar{\phi}_\mathrm{z}, \psi$�͒萔�ŁC
$\theta = \tan^{-1}(z/y)$�ł���D
�~�̈�ɂ����ĕ��z�͂�x��������l�ł���̂ŁC���炩��CoP�͉~�̒��S�ƂȂ�D
�e�����ɂ��Ėʐϕ������
\begin{align*}
\int_S \phi_\mathrm{x}(y,z) dy dz &= \pi r^2 \bar{\phi}_\mathrm{x}, \\
\int_S \phi_\mathrm{y}(y,z) dy dz &= \pi r^2 \bar{\phi}_\mathrm{y}, \\
\int_S \phi_\mathrm{z}(y,z) dy dz &= \pi r^2 \bar{\phi}_\mathrm{z}
\end{align*}
�ƂȂ�̂�
\begin{align*}
\pi r^2 \bar{\phi}_\mathrm{x} &= f_\mathrm{x}, \\
\pi r^2 \bar{\phi}_\mathrm{y} &= f_\mathrm{y}, \\
\pi r^2 \bar{\phi}_\mathrm{z} &= f_\mathrm{z}
\end{align*}
�ł���D
����C���[�����g��x������
\begin{align*}
n_\mathrm{x}
 &= \int_S (y \phi_\mathrm{z}(y,z) - z \phi_\mathrm{y}(y,z)) dy dz \\
 &= \int_S (y (\bar{\phi}_\mathrm{z} + \psi \cos\theta ) - z (\bar{\phi}_\mathrm{y} - \psi \sin\theta ) ) dy dz \\
 &= c_\mathrm{y} (\pi r^2 \phi_\mathrm{z}) - c_\mathrm{z} (\pi r^2 \phi_\mathrm{y})
   + \int_S \rho^2 \psi d\rho d\theta \\
 &= c_\mathrm{y} f_\mathrm{z} - c_\mathrm{z} f_\mathrm{y} + \frac{2}{3} r (\pi r^2 \psi)
\end{align*}
�ƂȂ�D
���āC�~�̈�̔C�ӂ̓_�ɂ����āC���̓_�ɍ�p���镪�z�͂̓N�[�������C���f���𖞂����K�v������D�܂�
\begin{align*}
\left\| \begin{bmatrix} \phi_\mathrm{y}(y,z) \\ \phi_\mathrm{z}(y,z) \end{bmatrix} \right\| &\le \mu \phi_\mathrm{x}
\end{align*}
�ł���D
�����
\begin{align*}
\left\|
 \begin{bmatrix}
  \bar{\phi}_\mathrm{y} - \psi \sin\theta\\
  \bar{\phi}_\mathrm{z} + \psi \cos\theta
 \end{bmatrix}
\right\|
 &\le \mu \bar{\phi}_\mathrm{x}
\end{align*}
���ӂ��ő�ƂȂ�$\theta$���l�����
\begin{align*}
\left\|
 \begin{bmatrix}
  \bar{\phi}_\mathrm{y} \\
  \bar{\phi}_\mathrm{z}
 \end{bmatrix}
\right\|
 + |\psi| &\le \mu \phi_\mathrm{x}, \\
\end{align*}
�ƂȂ�C$\pi r^2$�������Đ��������
\begin{align*}
|\pi r^2 \psi| &\le \mu f_\mathrm{x} - \left\| \begin{bmatrix} f_\mathrm{y} \\ f_\mathrm{z} \end{bmatrix} \right\|
\end{align*}
�ƂȂ�D
��ŋ��߂�$n_\mathrm{x}$�̎��ƍ��킹��ƌ���
\begin{align*}
|n_\mathrm{x} - (c_\mathrm{y} f_\mathrm{z} - c_\mathrm{z} f_\mathrm{y})|
 &\le \frac{2}{3}r \left( 
 \mu f_\mathrm{x} - \left\| \begin{bmatrix} f_\mathrm{y} \\ f_\mathrm{z} \end{bmatrix} \right\|
 \right)
\end{align*}
�𓾂�D

�ȏ����A�̑�����܂Ƃ߂��
\begin{enumerate}
\item $f_\mathrm{x}$���ˉe
\item $f_\mathrm{y}, f_\mathrm{z}$���ˉe
\item $n_\mathrm{y}, n_\mathrm{z}, f_\mathrm{x}$����$r_\mathrm{y}, r_\mathrm{z}$���v�Z
\item $r_\mathrm{y}, r_\mathrm{z}$��ڐG���p�`���Ɏˉe
\item �ˉe����$r_\mathrm{y}, r_\mathrm{z}$����$n_\mathrm{y}, n_\mathrm{z}$���t�Z
\item $n_\mathrm{x}$���ˉe
\end{enumerate}
�ƂȂ�D

\end{document}
