\subsection{�S���͌v�Z�@�Ɗ֐ߍ��W�\���̓���}
\label{subsec_lcp_aba}

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=60mm]{fig/lcp_aba.eps}
\end{center}
%\caption{Integration of LCP-based method and ABA}
\caption{�S���͌v�Z�̘g�g�݂ւ̊֐ߍ��W�n�̓���}
\label{fig_lcp_aba}
\end{figure}

\ref{subsec_lcp}�߂ŏq�ׂ��S���͌v�Z�ɂ���@��\ref{subsec_aba}�߂ŏq�ׂ��֐ߍ��W�\���ɂ����@�݂͌��ɑ���I�ȓ��������Ƃ�����D
�����ŗ��҂��ЂƂ̃V�~�����[�V�������ō��݂����邱�Ƃ��l����D
LCP�Ɋ�Â��S���͌v�Z�@�ł͌n�̍\���v�f�͕K���������̂ł���K�v�͖����C
�S���͂ɑ΂��đ��x�ω��̌v�Z�������I�ɍs����C�ӂ̃T�u�V�X�e����g�ݓ���邱�Ƃ��ł���D
���̐����𗘗p���邽�߂ɁC\figlabel\ref{fig_lcp_aba}�Ɏ����悤�Ɍn�S�̂��������̃T�u�V�X�e���ɕ�������D
�����ň�̃T�u�V�X�e���͒P��̍��̂��C���[�v�������Ȃ��c���[�󃊃��N�\��(articulated body)�Ƃ���D
���̂悤�ȃO���[�v�������s���ƁC�T�u�V�X�e�������ɐ�������͂̌v�Z�͍s�킸�ɁC�T�u�V�X�e���Ԃɍ�p����S���͂̌v�Z�݂̂ōςނ悤�ɂȂ�D
���̑���Ɋe�T�u�V�X�e���ɂ��āC�O�������������S���͂ɑ΂��邻�̃T�u�V�X�e���ɑ����鍄�̂̑��x�ω����v�Z����K�v�������邪�C
�����\ref{subsec_aba}�߂ŏЉ��ABA�����p���邱�ƂŌ����I�ɍs�����Ƃ��ł���D

\subsection{���Q�C��PD�����̃V�~�����[�V�����Z�p}
\label{subsec_spring_damper}

���{�b�g�̕����V�~�����[�V�����ɂ����ẮC�֐߂̃T�[�{����̂��߂ɍ��Q�C����PD�R���g���[����p���邱�Ƃ������D
�������Ȃ���C���l�ϕ��ɃI�C���[����p����ꍇ�Ɉ��萫��ۏ؂���ɂ̓Q�C���W���ɉ����ď\�������ȃX�e�b�v����ݒ肷��K�v������C
�v�Z���Ԃɐ���̂��郊�A���^�C���A�v���P�[�V�����ł͐ݒ�\�ȃQ�C���W���Ɍ��E������D
�����ŁC�ȉ��ł͉A�ϕ��̍l���ɂ��ƂÂ�PD�����o�l�E�_���p�n�������̍S���ƌ��Ȃ����Ƃ�LCP�̘g�g�݂Ɏ�����C
��r�I�e���X�e�b�v���̂��Ƃň���ȃV�~�����[�V����������������@���q�ׂ�D

\ref{subsec_lcp}�߂ŏq�ׂ��g�g�݂̒��ŁC$i$�Ԗڂ̍S�����R�x�ɑ΂��Ĉȉ��̂悤�ɂ���PD������s�����Ƃ��l����D
\begin{align}
\lambda_i = K_i (\theta^\mathrm{d}_i - \theta_i) + D_i (w^\mathrm{d}_i - w_i) + \tau_i
\label{eq_springdamper_explicit}
\end{align}
������$K_i$�C$D_i$�͐���Q�C���i���邢�̓o�l�E�_���p�W���j�C$\theta_i$�͌������ł̊֐ߕψʁC$\theta^\mathrm{d}_i$�͖ڕW�ψʁC
$w^\mathrm{d}_i$�͖ڕW���x�C$\tau_i$�͒萔���ł���D
�Ⴆ��$K_i > 0$�C$D_i > 0$�C$w^\mathrm{d}_i = 0$�Ƃ���ΕψʂɊւ���PD����ƂȂ�C$K_i = 0$�C$D_i > 0$�Ƃ���Α��x�Ɋւ����ᐧ��ƂȂ�D
�萔��$\tau_i$�͕K�v�ɉ����ėp����D
��(\ref{eq_springdamper_explicit})�̕��@�ł͂ǂ����Ă�1�X�e�b�v�̒x�ꂪ�����邽�߁C���߂�ꂽ�X�e�b�v��$h$�̂��Ƃł̓Q�C���W����������x�ȏ�傫���ݒ�ł��Ȃ��D
�����ŉA�ϕ��̍l���ɂ��ƂÂ��C��̎����̊֐߂̑��x�ƕψʂ��������̂��̂ɒu��������:
\begin{align}
\lambda_i &= K_i (\theta^\mathrm{d}_i - (\theta_i + h w'_i) ) + D_i (w^\mathrm{d}_i - w'_i) + \tau_i, \notag \\ 
w'_i &= - \frac{1}{D_i + hK_i} \lambda_i + \frac{K_i(\theta^\mathrm{d}_i - \theta_i) + D w^\mathrm{d}_i + \tau_i}{D_i + hK_i}
\label{eq_cond_springdamper}
\end{align}
�������������̊֐ߕψʂ�$\theta_i + h w'_i$�Ƌߎ����Ă���D
��(\ref{eq_cond_springdamper})��\ref{subsec_lcp}�߂ŏq�ׂ����`�S���ɊY������D
�����ŁC��(\ref{eq_cond_springdamper})�Ǝ�(\ref{eq_lcp_linear})��A������������ƁC
���炽��$\tilde{A}$�C$\tilde{\bm{b}}$��
\begin{align}
\begin{aligned}
\tilde{A}_{i,j} &= \left\{
\begin{matrix}
A_{i,j} + \frac{1}{D_i + hK_i} & \text{if} \;\; i = j \text{ and } i \in \mathcal{I}^\mathrm{s} \\
A_{i,j}	& \text{otherwise}
\end{matrix} \right. \\
\tilde{b}_i &= \left\{
\begin{matrix}
b_i - \frac{K_i(\theta^\mathrm{d}_i - \theta_i) + D w^\mathrm{d}_i + \tau_i}{D_i + hK_i} & \text{if} \;\; i \in \mathcal{I}^\mathrm{s} \\
b_i	& \text{otherwise}
\end{matrix} \right.
\end{aligned}
\end{align}
�ƒ�`����ƁC�֌W��$\bm{w}' = \tilde{A} \bm{\lambda} + \tilde{\bm{b}}$�̂��ƂŐ��`�S���͊�{�S���ɋA�������D

\begin{figure}[t]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[width=40mm]{fig/compare_K2_D1_dt01.eps}	&
\includegraphics[width=40mm]{fig/compare_K20_D10_dt01.eps}	\\
(a) $K = 2,\, D = 1$	&
(b) $K = 20,\, D = 10$	\\
\includegraphics[width=40mm]{fig/compare_K200_D100_dt01.eps}	&	\\
$K = 200,\, D = 100$	&
\end{tabular}
\end{center}
%\caption{Comparison between explicit and implicit stepping}
\caption{�ʏ�̃I�C���[���ƉA�I�I�C���[���ɂ����鉞���̔�r}
\label{fig_compare}
\end{figure}

��(\ref{eq_springdamper_explicit})�̏]����@�ƉA�ϕ��@�Ɋւ��āC�������̈قȂ�W���̃o�l�E�_���p�n�̎��ԉ������r����D
�x�_�ɐ��`�o�l�E�_���p�����t�����P�U��q�ɑ΂��C�U��q�̊p�x�i=�o�l�̕ψʁj90���������l�Ƃ����Ƃ��̎��n���\figlabel\ref{fig_compare}�Ɏ����D
�����͎���[s]�C�c���͐U��q�̊p�x[rad]�ł���D
�U��q�̒�����$0.5$[m]�C�U��q��[�̎��ʂ�$1.0$[kg]�C�ϕ�����$0.1$[s]�Ƃ����D
�A�ϕ��@�ɂ�鎞�n��͎����C�]����@�ɂ����͔̂j���ŕ`����Ă���D
�o�l�W��$K = 2.0$�C�_���p�W��$D = 1.0$�̏ꍇ�i��i�j�ł͂�����̎�@�ɂ����Ă����萫�͕ۂ���Ă���D
$K = 20.0$, $D = 10.0$�̏ꍇ�i���i�j�ł͏]����@�̎��n��ɒ��I�Ȕ��U�������C�]����@�̌��E�ɒB���Ă��邱�Ƃ��ώ@�����D
���i��$K = 200.0$, $D = 100.0$�̏ꍇ�ŉA�ϕ��@�̎��n��݂̂�`�������̂ł���D
���̂悤�ȑ傫�ȃo�l��_���p�W����ݒ肵�Ă����萫���ۂ���邱�Ƃ�������D
�������C�A�I�ϕ����͂����܂Ő��l�ϕ��̈��萫��ۏ؂�����̂ł���C�K���������x�����シ����̂ł͂Ȃ����Ƃ͒��ӂ��Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��D
